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作者：mathiq galory
来源：知乎
1、为什么罗素悖论产生一次数学危机这要从当时的数学背景说起。之前由于不严密的使用微积分导致了数学危机二。柯西，阿贝尔等人严密化了微积分。这使数学家看到了严格的数学应该是什么样子的——严格得公理化体系。皮亚诺提出了自然数论得公理。于是，自然的，希尔伯特提出一个计划，要给整个数学建立一套公理系统，使得所有数学命题都能在这个系统中表示。大多数数学命题可以通过自然数结构，及其子集的相关运算（概念）表示。例如实数可以用自然数的子集表示。更一般的，集合论被认为是极其本的（它只包含一个概念，隶属关系，其他一切命题都通过这个关系，和基本的逻辑语言，存在，任意，或，非，来表示），就是这样一个简单的结构，能够表示所有的其他数学领域的命题。费雷格等人给出了集合论的公理，也就是熟知的ZF系统。当时数学界普遍认为，集合论可以表示所有数学命题。但这时，罗素提出一个看似合理的，由集合论的语言定义的概念，“由所有不包含自身的集合构成的集合”。罗素从这个概念出发，导出了矛盾（考虑这个集合是否包含它自身，不论包含与否都有矛盾。罗素用理发师比喻，“一个给所有不给自己理发的人理发的理发师”）。罗素悖论之所以引起危机，在于，当时普遍认罗素悖论中使用的概念是合理的（这是因为集合论被看做应该包含一切的理论，因此诸如“全体集合”、罗素悖论中涉及到的集合，都被认为可以当做集合）。所以费雷格说“在我的书即将出版时，罗素发现了这个悖论，使得整个理论大厦全然崩塌”。罗素悖论现在已经得到了“解决”。解决罗素悖论的努力直接导致现代数理逻辑的奠基工作，哥德尔不完备定理。首先，冯诺依曼提出，全体集合构成的集合，不能是集合论的一个对象、元素。罗素悖论就是因为把全体集合构成的东西当做集合（集合论语言中的元素）来处理。冯诺依曼提出，全体集合构成的东西可以作为类提起，但不能作为集合参与集合论的运算（这中的区别很大，听起来有点玄，有兴趣可以参考数理逻辑基础知识），亦即不能说这个东西属于某个集合。同时有人提出，加入WF公理（不存在无穷集合降链）。这样一来，罗素悖论就“不再存在”（没有严格证明集合论不存在悖论，但自新集合论公理提出后没有人再发些悖论，数学界也普遍相信新集合论没有悖论。并且哥德尔证明了“无法本质上证明集合论无矛盾”）。但这样一来，原本被认为合理的东西，比如“全体集合构成的东西”，却也无法在集合论的体系内讨论了。也就是说，罗素悖论虽然可以避免，但代价是，这个系统不像人们当初设想的那么包罗万象。罗素悖论“解决”后，人们进一步想严格证明两个事情，一是集合论是无矛盾的（罗素悖论及其各种变种不再存在但或许有别的矛盾呢），二是所有集合论的命题（从而所有数学命题）都能从集合论的公理按逻辑演绎的法则推导出来（完备性）。如果这两件事能成，任何数学命题，要知道真假，所要做的不过是从几条公理出发，按逻辑演绎法则去推，早晚要么证明其为真，要么得到其否命题。从而，说明数学本质上是机械的。这两件事，就是著名的希尔伯特纲领。当时诸多一流数学家都曾尝试，例如冯诺依曼。至此，第三次数学危机结束。2、后续影响 （这一部分不太赞同 @小明 的答案的后半部分）后来哥德尔先后否定了这两个目标的可行性，这就是哥德尔的第一不完备定理，和第二不完备定理。第一不完备定理说任何足够复杂的包含有限条公理的系统（比如集合论），都存在为真但无法从这组公理推出的命题。第二不完备定理说如果这个系统无矛盾，则这个系统的无矛盾性，就是这样的命题（如果该系统有矛盾，则有矛盾是可以证明的）。哥德尔的结果进一步说明，没有一个系统能够穷尽所有数学，数学本质上是创造性的，数学的基础归根结底依赖于直觉（相信自然数论的无矛盾性）。虽然哥德尔证明了公理化方法无法穷尽所有数学，也无法自圆其说（集合论无法证明自己是无矛盾的），但公理化体系、集合论仍然是数学的基础（数学并没有就此走上所谓的三条道路，验证一个数学家的结论是否正确的理论上的基础，是判断其推理的每一步是否能从上一步结合某个公理通过逻辑推理得到下一步，也就是希尔伯特的“形式主义”、公理化体系。此外，就我所知，没有人给出“可构造性”的严格定义，可能在具体的领域有一些定义，但它们不是普适的。这个概念就和“可计算”一样难缠。给出一个定义，数学家往往能直观上指出这个定义是否是可构造的，但可构造这个概念没有严格的定义）。即使有严格的定义，非可构造的定义也已经被数学家普遍接受，因为非可构造的定义未必不能转换成可构造的。其他数学家或许有各种各样的数学哲学观点，例如布劳威尔坚持直觉主义，但他们的观点并没有最终被数学主流接受。大多数数学家相信集合论是无矛盾的。绝大多数数学家相信自然数论是无矛盾的。我的答案不完备定理有哪些显著的哲学影响？ - mathiq galory 的回答，更详细说明了哥德尔定理产生的哲学影响。答案还包括：如果有一个数学命题无法从当前的公理出发，如何确定它的正确性？这样的数学命题的例子有哪些？动摇数学的确定性（柏拉图主义）是哥德尔的定理，而不是罗素悖论或第三次数学危机。二者的关系上述答案已经说明，把哥德尔的定理看做是第三次数学危机的产物，略有些牵强。哥德尔不完备定理可以说是希尔伯特计划的产物。它进一步说明了罗素悖论所预示的一些结论（没有任何单个系统能穷尽所有数学）。罗素悖论并没有让当时数学家为了数学基础所做的努力打脸，也没让希尔伯特计划当场全部泡汤。集合论仍然是数学的基础，其公理系统仍然是费雷格等人当时提出的那些公理。罗素悖论提出后，许多一流数学家仍在致力于完成希尔伯特计划，例如冯诺依曼、哥德尔等。冯诺依曼等人提出的解决（罗素悖论）方案，虽然使得一些看似合理的东西，例如“全体集合的集合”，无法讨论，但"新的"集合论依然可以表示当时（和现在）所知的全部数学命题。因此，人们依然（现在仍然）把集合论当做数学的基础。因此，希尔伯特和许多一流数学家继续着希尔伯特的纲领——证明集合论的无矛盾性和完备性，直到哥德尔两个不完备定理产生。是哥德尔不完备定理终结了希尔伯特计划，而不是罗素悖论。罗素悖论，从后来（哥德尔定理产生后）看，对哥德尔的结果所说明的东西有一定的预示。但至少当时没有任何数学家（包括冯诺依曼，可能哥德尔除外）从罗素悖论中看到这个预示。
